ローレンツ群の連結成分の個数

はじめに

多くの物理の教科書でローレンツ群の連結成分の個数は4個であると述べられていますが、残念ながら議論は不十分です。ほとんどの本の議論はローレンツ変換 $x \mapsto Λ x$ が

{Λ^{0}}_{0} \geq 1, {Λ^{0}}_{0} \leq - 1

のいずれかを満たし、また

det Λ = \pm 1

が成り立つことを示すことで、ローレンツ群の連結成分の個数が4個だと主張しています。しかしこれは、連結成分の個数が4個以上であることしか主張していません。もし $Λ$ が追加の条件で分離されているなら、連結成分が8個になってしまう可能性もあるでしょう。

この記事では、ローレンツ群の連結成分の個数が4個であることをある程度厳密^[1]に示します。

ローレンツ群

まずはローレンツ変換の定義から始めます。ローレンツ変換とは、線形変換 $x^{μ} \mapsto x^{' μ} = {Λ^{μ}}_{ν} x^{ν}$ であって、

η_{μ ν} x^{μ} x^{ν} = η_{μ ν} {x^{'}}^{μ} {x^{'}}^{ν}

を満たすものです^[2]。ローレンツ変換を全て集めた集合をローレンツ群と呼びます。ここで

η_{μ ν} {x^{'}}^{μ} {x^{'}}^{ν} = η_{μ ν} {Λ^{μ}}_{ρ} {Λ^{ν}}_{σ} x^{ρ} x^{σ}

なので、これが $η_{ρ σ} x^{ρ} x^{σ}$ と等しいためには

η_{μ ν} {Λ^{μ}}_{ρ} {Λ^{ν}}_{σ} = η_{ρ σ}

が満たされていればよいです。 $Λ^{μ}_ν, η_{μ ν}$ を成分とする行列をそれぞれ $Λ, η$ とすれば、ローレンツ変換の条件は行列で

Λ^{T} η Λ = η

と書けます。両辺の行列式を取ることで、

(det Λ)^{2} = 1

が成り立つので、

det Λ = \pm 1

を得ます。

また $η_{μ ν} Λ^{μ}_ρ Λ^{ν}_σ = η_{ρ σ}$ で $ρ = σ = 0$ とすると

- 1 = - ({Λ^{0}}_{0})^{2} + ({Λ^{1}}_{0})^{2} + ({Λ^{2}}_{0})^{2} + ({Λ^{3}}_{0})^{2}

となるので、

\begin{aligned} ({Λ^{0}}_{0})^{2} & = 1 + ({Λ^{1}}_{0})^{2} + ({Λ^{2}}_{0})^{2} + ({Λ^{3}}_{0})^{2} \\ \geq 1 \end{aligned}

も成り立ちます。よって、 ${Λ^{0}}_{0} \geq 1$ あるいは ${Λ^{0}}_{0} \leq - 1$ が成り立つことになります。

ローレンツ群の連結成分

以下の4つの変換はすべてローレンツ変換です。

これらの変換はそれぞれ ${Λ^{0}}_{0} \geq 1, {Λ^{0}}_{0} \leq - 1$ と $det Λ = \pm 1$ の4つの場合の全てを尽くしています。よって、ローレンツ群には少なくとも4つの連結成分があります。

連結成分とは何かを軽く説明します。ローレンツ群の連結成分とは、その中の任意の2つの変換が連続的にパラメータ付けられた変換の集合、つまり曲線でつなげるようなローレンツ群の(最大の)部分集合のことを言います^[3]。

${Λ^{0}}_{0} \geq 1, {Λ^{0}}_{0} \leq - 1$ および $det Λ = + 1, det Λ = - 1$ という条件は $Λ$ に微小ローレンツ変換をかけても変わりません。よってローレンツ群の4つの部分集合

\begin{aligned} S_{1} & = {{Λ^{0}}_{0} \geq + 1, det Λ = + 1}, S_{2} = {{Λ^{0}}_{0} \geq + 1, det Λ = - 1} \\ S_{3} & = {{Λ^{0}}_{0} \leq - 1, det Λ = - 1}, S_{4} = {{Λ^{0}}_{0} \leq - 1, det Λ = + 1} \end{aligned}

は連結成分の候補になります。このとき以下の4つの変換

{I^{μ}}_{ν} = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}), {P^{μ}}_{ν} = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 \end{matrix})

{T^{μ}}_{ν} = (\begin{matrix} - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}), {(P T)^{μ}}_{ν} = (\begin{matrix} - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 \end{matrix})

はそれぞれ $S_{1}, S_{2}, S_{3}, S_{4}$ の元なので、 $S_{1}, S_{2}, S_{3}, S_{4}$ はどれも空ではありません。しかしまだこれらの集合が連結であることは示していないので、連結成分が4つであるとは言えません。

$S_{1}$ の元に $P, T, PT$ をかけるとそれぞれ $S_{2}, S_{3}, S_{4}$ の元になり、もう一度同じものをかけると元に戻るので、 $S_{1}, S_{2}, S_{3}, S_{4}$ の元は1対1に対応しています。よって $S_{1}$ が連結であることを示せば $S_{2}, S_{3}, S_{4}$ も連結であり、ローレンツ群の連結成分が4つであることが証明できます。

恒等変換 $I$ を含む集合 $S_{1}$ はローレンツ群の部分群であり、本義ローレンツ群と呼ばれます。また本義ローレンツ群 $S_{1}$ の元は本義ローレンツ変換と呼ばれます^[4]。以下では本義ローレンツ変換について議論します。

本義ローレンツ群が連結であることの証明

本義ローレンツ群 $S_{1}$ が連結であることを示します。このために、任意の本義ローレンツ変換 $Λ$ がブースト $B$ と空間回転 $R$ によって

Λ = B R

と書けることを示します。まずブーストと空間回転とは何か説明します。

ブースト

ブーストとは、3元ベクトル $v$ によって

B (v) = (\begin{matrix} \sqrt{1 + | v |^{2}} & v^{T} \\ v & I + (\sqrt{1 + | v |^{2}} - 1) \frac{v v^{T}}{| v |^{2}} \end{matrix})

と書かれる本義ローレンツ変換のことです。ただし $I$ は $3 \times 3$ の単位行列です。

このとき $e = v / | v |$ と置くと、

B (e \sinh η) B (e \sinh η^{'}) = B (e \sinh (η + η^{'}))

が成り立ちます。

有限のブースト $B (v)$ は曲線

c (t) = B (t v), 0 \leq t \leq 1

で恒等変換とつながっています。

空間回転

空間回転は回転軸の方向を向き、大きさが回転角度であるようなベクトル $θ$ によって $R (θ)$ と表すことができ、 $θ, θ^{'}$ が平行なら

R (θ) R (θ^{'}) = R (θ + θ^{'})

が成り立ちます。

有限の空間回転 $R (θ)$ は曲線

c (t) = R (t θ), 0 \leq t \leq 1

で恒等変換とつながっています。

証明

$k^{μ} = (1, 0, 0, 0)$ とすると、

\bar{Λ} = B (k_{Λ})^{- 1} Λ

という変換は $k^{μ}$ を不変に保ちます。ただし $k_{Λ}$ は $Λ k$ の空間成分であり、 ${Λ^{0}}_{0} \geq + 1$ から

(Λ k)^{0} = \sqrt{1 + | k_{Λ} |^{2}}

であることが保証されています^[5]。

よって、静止したものを静止したままにするので、直感的に $\bar{Λ}$ は空間回転です。 $\bar{Λ}$ が空間回転であることを実際に示します。 $\overset{―}{Λ}$ は $k^{μ}$ を不変に保つことから、何らかの3元ベクトル $V$ と $3 \times 3$ 行列 $P$ によって

\bar{Λ} = (\begin{matrix} 1 & V^{T} \\ 0 & P \end{matrix})

と書くことができます。これをローレンツ変換の条件 $η = {\bar{Λ}}^{T} η \bar{Λ}$ に代入すると、

\begin{aligned} (\begin{array}{c} - 1 & 0 \\ 0 & I \end{array}) & = (\begin{array}{c} 1 & 0 \\ V & P^{T} \end{array}) (\begin{array}{c} - 1 & 0 \\ 0 & I \end{array}) (\begin{array}{c} 1 & V^{T} \\ 0 & P \end{array}) \\ = (\begin{array}{c} 1 & 0 \\ V & P^{T} \end{array}) (\begin{array}{c} - 1 & - V^{T} \\ 0 & P \end{array}) \\ = (\begin{array}{c} - 1 & - V^{T} \\ - V & - V V^{T} + P^{T} P \end{array}) \end{aligned}

が成り立つので、

V = 0, P^{T} P = I

となります。このとき $det \bar{Λ} = + 1$ より^[6] $det P = 1$ であり、 $\bar{Λ}$ は空間回転 $R$ です。よって $Λ$ はブーストと空間回転の積

Λ = B (k_{Λ}) R

で書くことができ、ブーストと空間回転は恒等変換と曲線でつながっているので $Λ$ も恒等変換と曲線でつながっています。よって $S_{1}$ は連結です。

おわりに

ローレンツ群の連結成分が4個であると述べている文献は多くありますが、本義ローレンツ群が連結であることを示しているものは少ないと思います。本来はこのような議論を行う必要があります。

物理で納得できるくらいの厳密さで示します。この記事のアイデアを数学的に厳密な形で表すのは容易でしょう。 ↩︎
この記事では、計量 $η_{μ ν}$ の符号を $(-, +, +, +)$ とします。 ↩︎
これは厳密には弧状連結成分の定義ですが、多様体の弧状連結成分と連結成分は一致するので問題ありません。 ↩︎
本義ローレンツ変換のことを単にローレンツ変換と呼ぶこともあります。 ↩︎
$Λ^{0}_0 \leq - 1$ だと $(Λ k)^{0} = - \sqrt{1 + | k_{Λ} |^{2}}$ より $(\bar{Λ} k)^{μ} = (- 1, 0, 0, 0) \neq k^{μ}$ となってしまいます。 ↩︎
$Λ, B (k_Λ) \in S_{1}$ と $S_{1}$ はローレンツ群の部分群であることから $\bar{Λ} = B (k_{Λ})^{- 1} Λ \in S_{1}$ です。 ↩︎