Physics Lab. 2022 Advent Calendar 6日目トポロジカル物性班

トポロジカル物性班班長

⚠記事の内容は学生個人の見解であり、所属する学科組織を代表するものではありません。

挨拶

こんばんは．理学部物理学科3年のくてです．Physics Lab. 2022ではトポロジカル物性班の班長をやらせていただいてます．養命酒¹に救われています．よろしくお願いします．

何の班？

物性分野のうち，物質のトポロジカルな側面に関連した内容を学ぼうぜ，という班です．またトポロジカル物性に関係ないものでもええやん，という緩いノリでも活動しているつもりです．具体的な班の活動としては強相関電子系，超伝導，その他のグループに分かれて各々の興味や目的に別れて学んでいます．また展示で発表する実験²のための準備も進めています．

物質のトポロジカルな側面

物質の電子状態は波動関数で記述されます．その波動関数がHilbert空間上で非自明なトポロジーを持つような物質の存在が実験と理論から確かめられています．トポロジーとは一口に言うなら「形」を意味します．「マグカップとドーナツは穴の数が一致するので同じとみなす」という説明を耳にした方は多いことと思います．それです．波動関数を波数空間という抽象的な空間で見てやると「形」によって分類することができるのです．これが「トポロジカルなんとか」のお気持ちです．

トポロジカル不変量の一例（2バンド1次元系の場合）

波動関数の「形」がトポロジーだと雑に言いました．ではトポロジーを分類する具体的な指標を見てみましょう．あくまで紹介なのでさらっと流します．

絶縁体を考えます．絶縁体の1つのバンドのみが占有状態にあるとき，電気分極$\hspace{0.2em}P_\rho\hspace{0.2em}$はBerry接続$\hspace{0.2em}a(k)\hspace{0.2em}$³を用いて

$$P_\rho = \int_{-\pi}^\pi \frac{dk}{2\pi}a(k)$$

と表せます．[1]これを2バンドの場合に拡張します．

2バンド1次元系を考えましょう．Hamiltonianが周期$\hspace{0.2em}T\hspace{0.2em}$を持ち，時間反転対称性を持つ，すなわち

$$H(t+T) = H(t) \\ H(-t)=\Theta H(t)\Theta^{-1}$$

⁴という対称性の課された系で考えることにします．2バンドで考えるのでBerry接続は一般に$\hspace{0.2em}2\times 2\hspace{0.2em}$行列で表されるので

$$a(k) \to \bm{a}_{\alpha\beta}(k)$$

となります．特に，対称性を先述のように課しているの積分は

$$P_\rho = \underset{\coloneqq P_1}{\int_{-\pi}^\pi \frac{dk}{2\pi}a_{11}(k)} + \underset{\coloneqq P_1}{\int_{-\pi}^\pi \frac{dk}{2\pi}a_{22}(k)}$$

のように簡単な形になります．つまり各バンドからの寄与$\hspace{0.2em}P_1, P_2\hspace{0.2em}$の和の形に直せます．このように現れてきた$\hspace{0.2em}P_1, P_2\hspace{0.2em}$の差$\hspace{0.2em}P_\theta\hspace{0.2em}$とBloch関数$\hspace{0.2em}\ket{u_{\alpha,k}}\hspace{0.2em}$⁵を用いて定義される行列$\hspace{0.2em}w_{\alpha,\beta}\hspace{0.2em}$

$$P_\theta = P_1 - P_1, w_{\alpha,\beta} = \bra{u_{\alpha, -k}}\Theta\ket{u_{\beta, k}}$$

を考えてやりましょう．するとなんやかんやあって

$$P_\theta = \frac{1}{i\pi}\log\left(\frac{\sqrt{w_{12}(0)^2}}{w_{12}(0)} \cdot \frac{w_{12}(\pi)}{\sqrt{w_{12}(\pi)^2}}\right)$$

という表式に変形できることが示せます．$\sqrt{w^2}/w\hspace{-0.2em}\hspace{0.2em}$ の形になっているので，$\log\hspace{0.2em}$の中身は$\hspace{0.2em}\pm1\hspace{0.2em}$になります．したがって偏角を$\hspace{0.2em}0\leq\theta\leq2\pi\hspace{0.2em}$に制限すれば，$P_\theta = \log(\pm1)/i\pi = 0, 1\hspace{0.2em}$となります．この表式のもとで時刻$\hspace{0.2em}t=0\hspace{0.2em}$から$\hspace{0.2em}t=T/2\hspace{0.2em}$の間の$\hspace{0.2em}P_\theta\hspace{0.2em}$の変化分$\hspace{0.2em}\Delta\hspace{0.2em}$

$$\Delta = |P_\theta(T/2) - P_\theta(0)|$$

を見てやると，$0\hspace{0.2em}$か$\hspace{0.2em}1\hspace{0.2em}$というとびとびの値を取ることが確かめられます．この$\hspace{0.2em}\Delta\hspace{0.2em}$が今考えている系の「形」，すなわちトポロジーを分類する指標です．$\Delta = 0\hspace{0.2em}$の場合が自明な場合で，$\Delta = 1\hspace{0.2em}$の場合がトポロジカルな場合と呼ばれます．⁶この例の$\hspace{0.2em}\Delta\hspace{0.2em}$は$\hspace{0.2em}0,1\hspace{0.2em}$のニ値であり，$Z_2\hspace{0.2em}$指数と呼ばれています．

終わりに

堅苦しくなったのでこの辺にしておきます．つい最近年が明けた気がするのですが，もうクリスマスです．僕の中ではクリスマスは大きな鶏もも肉とショートケーキを堪能する日と決まっています．皆さんはどのようにお過ごしの予定でしょう．⁷⁸気が触れないようにお過ごしください．

参考文献

L. Fu and C. L. Kane: Phys. Rev. B 74 (2006) 195312. ↩
『トポロジカル絶縁体入門』，安藤陽一，講談社

寝る前または食前に20 mL飲みましょう．一日3回が目安です． ↩
乞うご期待！ ↩
波数空間におけるベクトルポテンシャルのようなもの． ↩
$\hspace{-0.2em}\hspace{0.2em}\Theta\hspace{0.2em}$: 時間反転演算子．運動を逆再生させるもの． ↩
実空間で単位胞の周期性を持つ波動関数． ↩
物理的には，系の橋から橋へとスピンが流れる spin pumping という非自明な現象が発生するらしいです． ↩
恋人と過ごすという変わった風習を持つ地域も存在する． ↩
24日のアドベントカレンダーに思いを馳せながら． ↩

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