Physics Lab. 2022 Advent Calendar 6日目トポロジカル物性班

トポロジカル物性班班長

⚠記事の内容は学生個人の見解であり、所属する学科組織を代表するものではありません。

挨拶

こんばんは．理学部物理学科3年のくてです．Physics Lab. 2022ではトポロジカル物性班の班長をやらせていただいてます．養命酒¹に救われています．よろしくお願いします．

何の班？

物性分野のうち，物質のトポロジカルな側面に関連した内容を学ぼうぜ，という班です．またトポロジカル物性に関係ないものでもええやん，という緩いノリでも活動しているつもりです．具体的な班の活動としては強相関電子系，超伝導，その他のグループに分かれて各々の興味や目的に別れて学んでいます．また展示で発表する実験²のための準備も進めています．

物質のトポロジカルな側面

物質の電子状態は波動関数で記述されます．その波動関数がHilbert空間上で非自明なトポロジーを持つような物質の存在が実験と理論から確かめられています．トポロジーとは一口に言うなら「形」を意味します．「マグカップとドーナツは穴の数が一致するので同じとみなす」という説明を耳にした方は多いことと思います．それです．波動関数を波数空間という抽象的な空間で見てやると「形」によって分類することができるのです．これが「トポロジカルなんとか」のお気持ちです．

トポロジカル不変量の一例（2バンド1次元系の場合）

波動関数の「形」がトポロジーだと雑に言いました．ではトポロジーを分類する具体的な指標を見てみましょう．あくまで紹介なのでさらっと流します．

絶縁体を考えます．絶縁体の1つのバンドのみが占有状態にあるとき，電気分極 $P_{ρ}$ はBerry接続 $a (k)$ ³を用いて

P_{ρ} = \int_{- π}^{π} \frac{d k}{2 π} a (k)

と表せます．[1]これを2バンドの場合に拡張します．

2バンド1次元系を考えましょう．Hamiltonianが周期 $T$ を持ち，時間反転対称性を持つ，すなわち

H (t + T) = H (t) H (- t) = Θ H (t) Θ^{- 1}

⁴という対称性の課された系で考えることにします．2バンドで考えるのでBerry接続は一般に $2 \times 2$ 行列で表されるので

a (k) \to a a_{α β} (k)

となります．特に，対称性を先述のように課しているの積分は

P_{ρ} = \underset{: = P_{1}}{\int_{- π}^{π} \frac{d k}{2 π} a_{11} (k)} + \underset{: = P_{1}}{\int_{- π}^{π} \frac{d k}{2 π} a_{22} (k)}

のように簡単な形になります．つまり各バンドからの寄与 $P_{1}, P_{2}$ の和の形に直せます．このように現れてきた $P_{1}, P_{2}$ の差 $P_{θ}$ とBloch関数 $| u_{α, k} ⟩$ ⁵を用いて定義される行列 $w_{α, β}$

P_{θ} = P_{1} - P_{1}, w_{α, β} = ⟨ u_{α, - k} | Θ | u_{β, k} ⟩

を考えてやりましょう．するとなんやかんやあって

P_{θ} = \frac{1}{i π} \log (\frac{\sqrt{w_{12} (0)^{2}}}{w_{12} (0)} \cdot \frac{w_{12} (π)}{\sqrt{w_{12} (π)^{2}}})

という表式に変形できることが示せます． $\sqrt{w^{2}} / w$ の形になっているので， $\log$ の中身は $\pm 1$ になります．したがって偏角を $0 \leq θ \leq 2 π$ に制限すれば， $P_{θ} = \log (\pm 1) / i π = 0, 1$ となります．この表式のもとで時刻 $t = 0$ から $t = T / 2$ の間の $P_{θ}$ の変化分 $Δ$

Δ = | P_{θ} (T / 2) - P_{θ} (0) |

を見てやると， $0$ か $1$ というとびとびの値を取ることが確かめられます．この $Δ$ が今考えている系の「形」，すなわちトポロジーを分類する指標です． $Δ = 0$ の場合が自明な場合で， $Δ = 1$ の場合がトポロジカルな場合と呼ばれます．⁶この例の $Δ$ は $0, 1$ のニ値であり， $Z_{2}$ 指数と呼ばれています．

終わりに

堅苦しくなったのでこの辺にしておきます．つい最近年が明けた気がするのですが，もうクリスマスです．僕の中ではクリスマスは大きな鶏もも肉とショートケーキを堪能する日と決まっています．皆さんはどのようにお過ごしの予定でしょう．⁷⁸気が触れないようにお過ごしください．

参考文献

L. Fu and C. L. Kane: Phys. Rev. B 74 (2006) 195312. ↩
『トポロジカル絶縁体入門』，安藤陽一，講談社

寝る前または食前に20 mL飲みましょう．一日3回が目安です． ↩
乞うご期待！ ↩
波数空間におけるベクトルポテンシャルのようなもの． ↩
$Θ$ : 時間反転演算子．運動を逆再生させるもの． ↩
実空間で単位胞の周期性を持つ波動関数． ↩
物理的には，系の橋から橋へとスピンが流れる spin pumping という非自明な現象が発生するらしいです． ↩
恋人と過ごすという変わった風習を持つ地域も存在する． ↩
24日のアドベントカレンダーに思いを馳せながら． ↩

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